Eindimensionale Algebra/R/Zwei Variablen modulo s^2+t^2/Beispiel

Wir betrachten den kommutativen Ring

${}R=\mathbb {R} [S,T]/{\left(S^{2}+T^{2}\right)}\,.$

Dies ist ein eindimensionaler Integritätsbereich, da ${}S^{2}+T^{2}$ ein irreduzibles Polynom in ${}\mathbb {R} [S,T]$ ist. Der Ring ist nicht faktoriell, da ja  ${}S^{2}=-T^{2}$  gilt und die Elemente ${}S$ und ${}T$ irreduzibel, aber nicht prim sind. Der Ring ist auch nicht normal, da ${}{\frac {S}{T}}$ die Ganzheitsgleichung

${}{\left({\frac {S}{T}}\right)}^{2}=-1\,$

erfüllt. Die Normalisierung ist ${}{\mathbb {C} }[T]$ mit  ${}S={\mathrm {i} }T$. 

Die Tensorierung mit den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ ergibt

${}R\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }[S,T]/{\left(S^{2}+T^{2}\right)}\,,$

was wegen

${}S^{2}+T^{2}=(S-{\mathrm {i} }T)(S+{\mathrm {i} }T)\,$

kein Integritätsbereich mehr ist.