Kurs:Funktionentheorie/einfach zusammenhängend

Einleitung

Anschaulich sind Mengen einfach zusammenhängend, diese keine "Löcher" haben. Der Begriff einfach zusammenhängend ist für die Funktionentheorie im Zusammenhang mit dem Cauchy-Integralsatz wesentlich, da sich in "Löchern" Singularitäten befinden können, die bei der Umrundung einen Beitrag zum Integral liefern und deshalb die Bedingung

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0

verletzen.

Veranschaulichung

Die Mengen $C$ und das Komplement $C^{c}$ sind jeweils einfach zusammenhängend. Für die Menge $C$ liegt das an der rechts eingegfügten Trennlinie, die eine Umrundung des Komplementes unmöglich macht. Dagegen sind weder die Menge $D$ noch das Komplement $D^{c}$ ist einfach zusammenhängend.

Topologie

Der Begriff "einfach zusammenhängend" wird in der Topologie für Mengen verwendet, falls diese

wegzusammenhängend sind und
sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt in der Menge zusammenziehen lässt (d.h. nullhomotop).

Nullhomolog geschlossene Weg

In der Funktionentheorie hat man den Begriff der Umlaufzahl zur Verfügung und kann damit ausdrücken, dass ein geschlossener Weg in einem einfach zusammenhängende Gebiet $G$ keine Element $z\in G^{c}:=\mathbb {C} \setminus G$ umrunden kann. "Löcher" in der Menge erlauben das und verletzen die Eigenschaft.

Definition - nullhomolog

Ein Weg $\gamma :[a,b]\to G$ heißt nullhomolog, wenn für alle $z\in G^{c}:=\mathbb {C} \setminus G$ gilt, dass die Umlaufzahl $n(\gamma ,z)=0$ gilt.

Definition - einfach zusammenhängend

Sei $G\subseteq \mathbb {C}$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jeder Weg $\gamma :[a,b]\to G$ in G nullhomolog ist.

Definition - homologe Wege

Sei $U\subseteq {C}$ offen und sind $\gamma _{1}\colon [a,b]\to U$ , $\gamma _{2}\colon [a,b]\to U$ zwei Wege in $U$ mit $\gamma _{1}(a)=\gamma _{2}(a)$ und $\gamma _{1}(b)=\gamma _{2}(b)$ , dann heißen die Wege $\gamma _{1}$ und $\gamma _{2}$ homolog, wenn die Kette $\Gamma :=\gamma _{1}-\gamma _{2}$ als geschlossener Weg nullhomolog ist.

Bemerkung - Wegintegral für homologe Wege

Zwei homologe Wege $\gamma _{1}\colon [a,b]\to U$ und $\gamma _{2}\colon [a,b]\to U$ liefern das gleiche Wegintegral:

\int \limits _{\gamma _{1}}f(z)\,dz=\int \limits _{\gamma _{2}}f(z)\,dz

Siehe auch Cauchy-Integralsatz (CIS).

Siehe auch