Einheitssphäre/Beschreibung von offenen Halbsphären/Nicht von 3 überdeckt/Aufgabe/Lösung

a) Der Großkreis ist

$G={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz=0\right\}}$

und die beiden offenen Halbsphären sind

$U_{+}={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz>0\right\}}$

bzw.

$U_{-}={\left\{(x,y,z)\in S\mid ax+by+cz<0\right\}}.$

b) Für jede offene Halbkugel ${}U$ und den zugehörigen Großkreis ${}G$ ist ${}U\cap G=\emptyset$. Der maximale Abstand von zwei Punkten ${}P,Q\in S$ ist ${}2$, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Punkte gegenüber (antipodal) liegen, wenn also ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt geht (also bei ${}Q=-P$). Ein solches antipodale Paar liegt nicht auf einer offenen Halbsphäre, da bei ${}P=(x,y,z)$ und ${}P\in U_{+}$ ja ${}ax+by+cz>0$ und daher ${}a(-x)+b(-y)+c(-z)<0$ gilt, also ${}-P\in U_{-}$.

Wir nehmen nun an, dass es eine offene Überdeckung

$S\subseteq U_{1}\cup U_{2}\cup U_{3}$

mit drei offenen Halbsphären ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ gibt (die entsprechenden Ebenen und Großkreise seien mit ${}E_{i}$ bzw. ${}G_{i}$ bezeichnet). Wegen ${}U_{1}\cap G_{1}=\emptyset$ folgt

$G_{1}\subseteq U_{2}\cup U_{3}.$

Der Durchschnitt ${}G_{1}\cap E_{2}$ enthält mindestens zwei antipodale Punkte ${}P$ und ${}-P$

Dabei ist ${}P,-P\not \in U_{2}$. Da ${}U_{3}$ nach der Vorüberlegung kein antipodales Punktepaar enthält, gehört einer dieser Punkte auch nicht zu ${}U_{3}$ und wir haben einen Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe