Elementar-symmetrische Polynom/Produkt von allgemeinen Linearfaktoren/Bemerkung

Wir betrachten das Produkt

$(T+X_{1})\cdots (T+X_{n})$

in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},T]=K[X_{1},\ldots ,X_{n}][T]$. Wenn man dieses Produkt ausmultipliziert, so erhält man ein (normiertes) Polynom in ${}T$ vom Grad ${}n$, wobei die Koeffizienten selbst Polynome aus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind. Da man beim Ausmultiplizieren alles mit allem multiplizieren muss, gilt

$(T+X_{1})\cdots (T+X_{n})=T^{n}+E_{1}T^{n-1}+\cdots +E_{n}T^{0}\,,$

wobei ${}E_{i}$ gerade das ${}i$-te elementarsymmetrische Polynom bezeichnet. Ein Polynom in ${}T$ mit den Nullstellen ${}-X_{i}$ besitzt also die elementarsymmetrischen Polynome als Koeffizienten.