Elementare und algebraische Zahlentheorie/17/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	6	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0	14

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Monoid ${}M$.
2. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Lösung

1. Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

   und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

      für alle ${}x,y,z\in M$.

   2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

      für alle ${}x\in M$.

2. Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
3. /Definition/Begriff/Inhalt
4. /Definition/Begriff/Inhalt
5. /Definition/Begriff/Inhalt
6. /Definition/Begriff/Inhalt

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euler über Einheiten in einem Restklassenring von ${}\mathbb {Z}$.
2. /Fakt/Name
3. Der Minkowskische Gitterpunktsatz.

Lösung

1. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

   ${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

2. /Fakt
3. Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

   ${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

   erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit der Faktorzerlegung

${}n=2^{r}\cdot 5^{s}\cdot d\,,$

wobei ${}d$ zu ${}n$ teilerfremd sei (${}r,s=0$ und ${}d=1$ sind erlaubt). Zeige, dass die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von ${}{\frac {1}{n}}$ gleich der multiplikativen Ordnung von ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ ist.

Lösung

Die Periodenlänge einer abbrechenden Dezimalentwicklung verstehen wir als ${}1$ (die ${}0$ wiederholt sich). Da die ${}10$ teilerfremd zu ${}d$ ist, ist ${}10$ in ${}\mathbb {Z} /(d)$ eine Einheit und besitzt daher eine multiplikative Ordnung. Der Divisionsalgorithmus berechnet sukzessive die Reste von ${}10^{i}$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$, da ja der vorhergehende Rest mit ${}10$ multipliziert wird. Periode tritt ein, wenn sich Reste erstmalig wiederholen, wenn also ${}10^{i}=10^{j}$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ mit ${}i<j$ ist und ${}i,j$ minimal mit dieser Eigenschaft sind. Der chinesische Restsatz liefert die Isomorphie

${}\mathbb {Z} /(n)=\mathbb {Z} /(2^{r})\times \mathbb {Z} /(5^{s})\times \mathbb {Z} /(d)\,,$

und die Bedingung ${}10^{i}=10^{j}$ muss in den drei Komponenten gelten. In den ersten beiden Komponenten ist ${}10$ nilpotent, da ja ${}10^{r}$ ein Vielfaches von ${}2^{r}$ und ${}10^{s}$ ein Vielfaches von ${}5^{s}$ ist. Diese Komponenten sind also für die Periodenlänge unerheblich (allerdings spielen sie eine Rolle für die Frage, wann frühestens die Periodizität anfängt). In der dritten Komponente ist ${}10$ eine Einheit, also ein Element der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(d)\right)}^{\times }$. Nach Fakt tritt die erste Wiederholung ein, wenn erstmalig ${}10^{j}=10^{0}=1$ gilt, also bei der multiplikativen Ordnung von ${}10$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ungerade natürliche Zahl und sei ${}k$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl, die modulo ${}n$ ein Quadratrest ist. Zeige, dass für das Jacobi-Symbol

${}\left({\frac {k}{n}}\right)=1\,$

gilt.

Lösung

Es sei

${}n=p_{1}\cdots p_{r}\,$

die Primfaktorzerlegung. Da ${}k$ ein Quadratrest modulo ${}n$ ist, ist ${}k$ erst recht ein Quadratrest modulo jedem ${}p_{j}$. Daher ist

${}\left({\frac {k}{n}}\right)=\left({\frac {k}{p_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {k}{p_{r}}}\right)=1\cdots 1=1\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung