Elementare und algebraische Zahlentheorie/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	3	5	5	1	0	0	0	0	0	0	0	12	32

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
2. Ein gemeinsamer Teiler von Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {25}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$.

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Man berechne in ${}\mathbb {Z} /(80)$ die Elemente

a) ${}3^{1234567}$,

b) ${}2^{1234567}$,

c) ${}5^{1234567}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise das Euler-Kriterium für Quadratreste.

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass die quadratische Gleichung

${}x^{2}-5y^{2}=2\,$

keine ganzzahlige Lösung besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Gitterpunktsatz von Minkowski.