Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Ein Monoid ist eine Menge $M$ zusammen mit einer Verknüpfung

   $\circ :M\times M⟶M$

   und einem ausgezeichneten Element  $e\in M$  derart, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

      für alle  $x,y,z\in M$. 

   2. $e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      $x\circ e=x=e\circ x$

      für alle  $x\in M$. 

2. Eine Nichteinheit $p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung $p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
3. Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
   1. Jedes irreduzible Element in $R$ ist prim.
   2. Jedes Element $a\in R$, $a\ne 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
4. Eine Einheit $u\in {(\mathbb{Z}/(n))}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
5. Das Minimalpolynom von $x\in L$ (über $K$) ist das normierte Polynom $P\in K[X]$ von minimalem Grad mit $P(x)=0$.
6. Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Zur gelösten Aufgabe