Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

   und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

      für alle ${}x,y,z\in M$.

   2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

      für alle ${}x\in M$.

2. Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
3. Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
   1. Jedes irreduzible Element in ${}R$ ist prim.
   2. Jedes Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
4. Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
5. Das Minimalpolynom von ${}x\in L$ (über ${}K$) ist das normierte Polynom ${}P\in K[X]$ von minimalem Grad mit ${}P(x)=0$.
6. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Zur gelösten Aufgabe