Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Dann gilt für jede zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ die Beziehung

   ${}a^{\varphi (n)}=1\!\!\!\mod n\,.$

2. Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist ${}R$ normal.
3. Es sei ${}\Gamma$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit Grundmasche ${}{\mathfrak {M}}$. Es sei ${}T$ eine konvexe, kompakte, zentralsymmetrische Teilmenge in ${}\mathbb {R} ^{n}$, die zusätzlich die Volumenbedingung

   ${}\operatorname {Vol} (T)\geq 2^{n}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}})\,$

   erfülle. Dann enthält ${}T$ mindestens einen von ${}0$ verschiedenen Gitterpunkt.

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