Elliptische Kurve/Höhenfunktion/Einführung/Textabschnitt

Es sei

${}E=V_{+}(F)={\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

eine über einem Zahlkörper ${}K$ definierte elliptische Kurve, gegeben durch eine kurze Weierstraßgleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$. Wir wollen auf den Punkten von ${}E$ eine Höhenfunktion definieren, die im Beweis des Satzes von Mordell-Weil helfen soll. Dazu muss sie gewisse Eigenschaften bezüglich der Addition erfüllen. Wir arbeiten (statt mit der durch die Einbettung gegebene Höhe) mit der Abbildung

$E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (x,z).$

Affin wird also ein Punkt ${}(x,y)$ einfach auf ${}x$ projiziert.

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$ und sei ${}P=(x,y,1)\in E$ ein fixierter Punkt aus ${}E(K)$.

Dann gibt es eine Konstante ${}C$ derart, dass für jeden Punkt ${}Q\in E(K)$ die absolute Höhe die Abschätzung

${}H(P+Q)\leq C\cdot H(Q)^{2}\,$

erfüllt.

Beweis

Wir können annehmen, dass die ${}x$-Koordinate von ${}P$ gleich ${}0$ ist, die Gleichung habe die Form

${}y^{2}=x^{3}+rx^{2}+sx+t\,$

(durch die Verschiebung können wir nicht davon ausgehend, dass ${}r=0$ ist), es ist also ${}P(0,y_{1},1)=$. Es sei ${}Q=(x_{2},y_{2},1)\in E(K)$, dessen Höhe ist also nach Definition die absolute Höhe von ${}(x_{2},1)$. Es geht darum, eine Höhenabschätzung für ${}x_{3}$ zu zeigen, wobei

${}P+Q=(x_{3},y_{3},1)\,$

ist. Die expliziten Formel für die Koordinaten der Summe liefern

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-r-x_{2}\\&=\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}}}\right)^{2}-r-x_{2}\\&={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t-2y_{1}y_{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}}-r-x_{2},\end{aligned}}$

siehe Aufgabe. Die Summanden im Bruch haben die Form ${}x_{2},r,sx_{2}^{-1},cx_{2}^{-2}$ und ${}dy_{2}x_{2}^{-2}$, es ist ja ${}y_{1}$ fixiert. Die Höhe dieser ersten Terme kann man wegen Fakt jeweils durch eine Konstante mal ${}H(x_{2})^{2}$ nach oben abschätzen. Vom zuletzt genannten Term betrachten wir das Quadrat, also

${}{\frac {y_{2}^{2}}{x_{2}^{4}}}={\frac {x_{2}^{3}+rx_{2}^{2}+sx_{2}+t}{x_{2}^{4}}}\,,$

und es geht wieder darum, die Höhe dieser Summanden nach oben abzuschätzen. Da die Summanden bis auf Konstanten die Form ${}x_{2}^{i}$ mit ${}i=-1,-2,-3,-4$ besitzen, haben wir insgesamt eine Abschätzung nach oben der Form ${}\leq C\cdot H(x_{2})^{4}$. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhalten wir wieder eine Abschätzung der gewünschten Form.

$\Box$

De folgende Satz besagt, dass bei einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper die über die ${}x$-Projektion auf die projektive Gerade definierte logarithmische Höhe eine schwache Höhenfunktion ist.

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper ${}K$ mit einer Weierstraßgleichung

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

und zugehöriger Projektion ${}E\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{1}$, ${}(x,y,z)\longmapsto (x,z)$. Dann erfüllt die zugehörige logarithmische Höhe die folgenden Eigenschaften.

1. Zu jedem Punkt ${}P\in E(K)$ gibt es eine Konstante ${}C$ derart, dass für jeden Punkt ${}Q\in E(K)$ die Abschätzung

   ${}h(P+Q)\leq 2h(Q)+C\,$

   erfüllt ist.

2. Es gibt eine Konstante ${}D$ derart, dass für alle ${}P\in E(K)$ die Abschätzung

   ${}h(2P)\geq 4h(P)-D\,$

   gilt.

3. Zu jeder Schranke ${}S$ ist

   ${\left\{P\in E(K)\mid h(P)\leq S\right\}}$

   endlich.

Beweis

1. Das ist die logarithmische Version von Fakt.
2. Dies folgt über den Logarithmus aus Fakt und der expliziten Formel für die ${}x$-Koordinate bei der Verdoppelung, siehe Fakt.
3. Dies folgt aus Fakt, da die Abbildung ${}E\rightarrow {\mathbb {P} }_{}^{1}$ den Grad ${}2$ besitzt.

$\Box$