Elliptische Kurve/Isogenie/Homomorphismus/Textabschnitt

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Satz  

Es seien elliptische Kurven über einem Körper und sei

eine Isogenie.

Dann ist ein Homomorphismus bezüglich der Gruppenstrukturen auf den Kurven.

Beweis  

Wir können annehmen, dass algebraisch abgeschlossen ist. Es liegt ein kommutatives Diagramm

vor, da

ist. Die horizontalen Abbildungen sind nach Fakt Gruppenisomorphismen. Die vertikale Abbildung rechts ist nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist auch die vertikale Abbildung links ein Gruppenhomomorphismus.



Satz  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und .

Dann ist étale.

Beweis  

Aufgrund der Separabilität gibt es nach Fakt eine nichtleere offene affine Teilmenge derart, dass auch affin ist und die eingeschränkte Abbildung

die Eigenschaft besitzt, dass der Kählermodul gleich ist. Aus Fakt folgt somit, dass über einem jeden Punkt genau Punkte liegen, wobei den Grad der Kurvenabbildung bezeichnet. Es sei nun ein beliebiger Punkt und sei ein Punkt oberhalb von . Wir fixieren einen Punkt und einen Punkt oberhalb von . Wir betrachten die Translation auf von nach und die Translation auf von nach . Nach Fakt gilt

d.h. das Diagramm

kommutiert. D.h. durch wird die Faser über isomorph in die Faser über überführt und besteht auch aus genau Punkten.



Korollar  

Es sei eine separable Isogenie zwischen den elliptischen Kurven und über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .

Dann ist

Beweis  

Dies folgt aus Fakt, da nach Fakt für einen étalen Morphismus zwischen glatten projektiven Kurven die Anzahl der Punkte in jeder Faser konstant gleich dem Grad ist.