Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Seien ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ Punkte auf ${}E(K)$ (für den unendlich fernen Punkt sind kleine Sonderüberlegungen nötig). Es sei ${}y=\alpha x+\beta$ eine Gleichung für die Verbindungsgerade zwischen den beiden Punkten bzw. der Tangente. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Kurve sind durch die Bedingung

${}(\alpha x+\beta )^{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$

gegeben. Dies wird durch ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ und von der ${}x$-Koordinate des dritten Schnittpunktes und des Summenpunktes ${}(x_{3},y_{3})$ erfüllt. Es ist also

${}(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})-(\alpha x+\beta )^{2}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\,.$

Wenn man darin ${}x=\lambda _{1}$ setzt, so erhält man

${}(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})(x_{3}-\lambda _{1})\,,$

also ist

${}x_{3}-\lambda _{1}={\frac {(\alpha \lambda _{1}+\beta )^{2}}{(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})}}=(x_{1}-\lambda _{1})(x_{2}-\lambda _{1})\,$

modulo der Quadrate.

Zur bewiesenen Aussage