Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich, ${}K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in R$. Es sei ${}p$ ein Primelement von ${}R$, das keines der Elemente ${}\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3},\,\lambda _{2}-\lambda _{3}$ teile. Es sei ${}P=(x,y)\in E(K)$ ein Punkt der Kurve. Dann ist die Ordnung von ${}x-\lambda _{j}$ in ${}p$ gerade.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen