Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir schreiben für die Ordnung eines Elementes , , in . Dies ist die Ordnung von im diskreten Bewertungsring bzw. dessen Quotientenkörper (siehe Fakt und Aufgabe). Aufgrund der Kurvengleichung gilt die Ordnungsbeziehung

Es sei zuerst . Dann ist

für überhaupt alle . Somit ist

also sind die gerade. Wir können also

annehmen. Aus würde

folgen im Widerspruch dazu, dass kein Teiler der Differenzen der Nullstellen ist. Also ist . Dann ist aber

also hat wieder gerade Ordnung.