Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}\operatorname {ord} \,(f)$ für die Ordnung eines Elementes ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, in ${}p$. Dies ist die Ordnung von ${}f$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{(p)}$ bzw. dessen Quotientenkörper (siehe Fakt und Aufgabe). Aufgrund der Kurvengleichung gilt die Ordnungsbeziehung

${}2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(y^{2})=\operatorname {ord} \,((x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3}))=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\,.$

Es sei zuerst  ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})<0$.  Dann ist

${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(x)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda )\,$

für überhaupt alle  ${}\lambda \in R$.  Somit ist

${}2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=3\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$

also sind die ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{j})$ gerade. Wir können also

${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})\geq 0\,$

annehmen. Aus  ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})\geq 1$  würde

${}\operatorname {ord} \,(\lambda _{2}-\lambda _{1})=\operatorname {ord} \,(-(x-\lambda _{2})+(x-\lambda _{1}))\geq 1\,$

folgen im Widerspruch dazu, dass ${}p$ kein Teiler der Differenzen der Nullstellen ist. Also ist  ${}\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2}),\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=0$.  Dann ist aber

${}2\operatorname {ord} \,(y)=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{2})+\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{3})=\operatorname {ord} \,(x-\lambda _{1})\,,$

also hat ${}x-\lambda _{1}$ wieder gerade Ordnung.

Zur bewiesenen Aussage