Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Eigenschaften/Fakt

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$. Dann besitzt die Abbildung

$\varphi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})\colon E(K)\longrightarrow K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}\times K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$

mit ${}\varphi _{i}$ wie in Definition folgende Eigenschaften.

1. ${}\varphi$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
2. Der Kern von ${}\varphi$ ist ${}2E(K)$.
3. Das Bild von ${}\varphi$ ist endlich.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen