Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Faktorieller Ganzheitsring/Fakt

Es sei

${}Y^{2}=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})(X-\lambda _{3})\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$ in Zerlegungsform über einem Zahlkörper ${}K$ mit ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in K$.

Dann gibt es einen faktoriellen Bereich ${}R\subseteq K$ mit den folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}Q(R)=K$.
2. Es ist ${}\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in R$.
3. Die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ ist endlich erzeugt.
4. Zu jedem Punkt ${}P=(x,y)\in E(K)$ besitzt ${}\varphi _{i}(P)\in K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ eine Darstellung ${}\varphi _{i}(P)=u$ mit ${}u\in R^{\times }$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen