Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Faktorieller Ganzheitsring/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir starten mit dem Ganzheitsring von , so dass (1) direkt erfüllt ist. Nach Fakt ist die Klassengruppe von endlich, deshalb gibt es eine Nenneraufnahme an einem Element derart, dass faktoriell ist. Durch eine weitere Nenneraufnahme am Hauptnenner der erreichen wir (2) und durch eine weitere Nenneraufnahme an einem Element erreichen wir, dass die Primteiler von für Einheiten im Ring werden. Diese Nenneraufnahme nennen wir . Es ist

in mit und gewissen Primelementen aus und Exponenten aus . Nach Fakt sind diese Exponenten aber gerade, also ist (4) erfüllt. Die Eigenschaft (3) folgt aus Fakt in der Version Aufgabe.