Elliptische Kurve/Produktform/Halbierung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}(x,y)$ ein fixierter Punkt der Kurve. Mit der verschobenen Variablen

${}X'=X-x\,$

können wir die Gleichung als

${}Y^{2}=(X'+x-\lambda _{1})(X'+x-\lambda _{2})(X'+x-\lambda _{3})\,$

schreiben mit den neuen Nullstellen ${}\lambda _{i}-x$ der rechten Seite. Die beiden als äquivalent nachzuweisenden Aussagen des Satzes ändern sich bei dieser Transformation nicht. Wir können also annehmen, dass ${}x=0$ ist. Es ist somit zu zeigen, dass ein Punkt der Form ${}(0,y)$ genau dann eine Halbierung auf der elliptischen Kurve besitzt, wenn ${}-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in ${}K$ sind.

Unter den Gruppenhomomorphismen ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ (siehe Fakt) wird der Punkt ${}(0,y)$ auf ${}(-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3})$ abgebildet. Wenn der Punkt eine Halbierung besitzt, so gilt dies auch für den Bildpunkt, und das heißt, dass diese drei Zahlen eine Quadratwurzel besitzen.

Es seien nun umgekehrt ${}-\lambda _{1},-\lambda _{2},-\lambda _{3}$ Quadrate in ${}K$ und zwar sei

${}-\lambda _{i}=\mu _{i}^{2}\,.$

Es ist dann ${}y=\pm \mu _{1}\mu _{2}\mu _{2}$, wir betrachten den positiven Fall, im negativen Fall kann man ein ${}\mu _{i}$ durch ${}-\mu _{i}$ ersetzen. Wir behaupten, dass der Punkt ${}(w,z)$ mit

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

ein Halbierungspunkt von ${}(0,y)$ ist. Dass dieser Punkt zur Kurve gehört wird in Aufgabe gezeigt. Für die Gleichung ${}2(z,w)=(0,y)$ siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage