Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$, gegeben in ganzzahliger Darstellung. Für fast alle Primzahlen ${}p$ ist dann ${}E_{p}$ modulo ${}p$ eine elliptische Kurve über ${}\mathbb {Z} /(p)$. Es sei ${}N_{p}$ die Anzahl der ${}\mathbb {Z} /(p)$-Punkte von ${}E_{p}$, die ja endlich ist. Aufgrund der Abschätzung von Hasse erwartet man eine Größenordnung von ${}p+1$. Es fällt einem zunächst mal kein Grund ein, warum die Zahlen ${}N_{p}$ zu verschiedenen Primzahlen etwas miteinander zu tun haben sollten. Deshalb packt man diese Daten in eine ${}L$-Reihe und hofft, dass sich dadurch Gesetzmäßigkeiten ergeben (bzw. dieser Zugang ist sinnvoll, weil dadurch Gesetzmäßigkeiten sichtbar werden). Statt mit ${}N_{p}$ direkt arbeitet man mit ${}p+1-N_{p}$, da diese Terme um ${}0$ schwanken. Für Primzahlen mit schlechter Reduktion müssen besondere Festlegungen getroffen werden.

Definition

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahl ${}p$ definiert man

$a_{p}={\begin{cases}p+1-{\#\left(E_{p}(\mathbb {Z} /(p)\right)},{\text{ wenn }}E{\text{ gute Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\1,{\text{ wenn }}E{\text{ spaltende multiplikative Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\-1,{\text{ wenn }}E{\text{ nichtspaltende multiplikative Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\0,{\text{ wenn }}E{\text{ additive Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,.\end{cases}}\,$

Definition

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer Primzahlpotenz ${}p^{r}$ definiert man unter Verwendung von ${}a_{1}=1$ und der Definition von ${}a_{p}$ rekursiv

$a_{p^{r+1}}={\begin{cases}a_{p}\cdot a_{p^{r}}-p\cdot a_{p^{r-1}},{\text{ wenn }}E{\text{ gute Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,,\\a_{p}^{r+1},{\text{ wenn }}E{\text{ schlechte Reduktion modulo }}p{\text{ besitzt}}\,.\end{cases}}\,$

Nach Aufgabe erfüllen bei guter Reduktion die Zahlen ${}b_{p^{r}}:=p^{r}+1-E_{p}({\mathbb {F} }_{p^{r}})$ ebenfalls diese rekursive Relation, allerdings erst für ${}r\geq 3$, für ${}r=2$ gilt dort ${}b_{p^{2}}=b_{p}b_{p}-2p$.

Definition

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung und einer natürlichen Zahl ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ setzt man unter Verwendung der Definition

${}a_{n}=a_{p_{1}^{r_{1}}}\cdots a_{p_{k}^{r_{k}}}\,.$

Definition

Zu einer elliptischen Kurve ${}E$ über ${}\mathbb {Q}$ in ganzzahliger Darstellung definiert man die ${}L$-Reihe unter Verwendung der Definition durch

${}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,.$

Reihen von dieser Bauart nennt man Dirichletreihen, man fasst sie als Funktion in der einen komplexen Variablen ${}s$ auf, wobei das Konvergenzverhalten von den Koeffizienten abhängt. Die bekannteste Reihe von dieser Form ist die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion, die durch

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

gegeben sind, dort sind also sämtliche Koeffizienten gleich ${}1$.

Für die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion gilt

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,$

nach Fakt. Ebenso besitzt die ${}L$-Reihe zu einer elliptischen Kurve ${}E$ neben der additiven Darstellung auch eine multiplikative Darstellung, bei der die Weilschen Zeta-Funktionen zu ${}E_{p}$ eine wichtige Rolle spielen. Gemäß Fakt gilt im Falle guter Reduktion

${}Z(E_{p};t)={\frac {1+(N_{1}-p-1)t+pt^{2}}{(1-t)(1-pt)}}={\frac {1-a_{p}t+pt^{2}}{(1-t)(1-pt)}}\,,$

d.h. das ${}a_{p}$ beschreibt vollständig die Zeta-Funktion der Reduktion ${}E_{p}$. Wenn man in die obige Zeta-Funktion ${}t=p^{-s}$ einsetzt, so erhält man

${}Z(E_{p};p^{-s})={\frac {1+(N_{1}-p-1)p^{-s}+pp^{-2s}}{(1-p^{-s})(1-pp^{-s})}}={\frac {1+(N_{1}-p-1)p^{-s}+p^{1-2s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}}={\frac {1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}}\,.$

Wenn man versucht, darüber das Produkt über alle Primzahlen ${}p$ zu bilden, so fällt zunächst auf, dass das Produkt über den linken Faktor im Nenner ${}\zeta (s)$ ergibt und dass das Produkt über den rechten Faktor ${}\zeta (s-1)$ ergibt. Man kann sich also auf den Zähler konzentrieren.

Die folgende Aussage beschreibt die multiplikative Version der ${}L$-Reihe.

Lemma

Für eine über ${}\mathbb {Z}$ definierte elliptische Kurve ${}E$ gilt für die ${}L$-Reihe für ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$

die Produktdarstellung

$L(E,s)=\prod _{p{\text{ schlechte Reduktion }}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}}}\cdot \prod _{p{\text{ gute Reduktion }}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\,.$

Beweis

Aufgrund von Definition sind die Koeffizienten der ${}L$-Reihe

${}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,$

multiplikativ, daher gibt es nach Fakt eine Produktdarstellung ${}L(E,s)=F_{p}(s)$ mit den lokalen Faktoren

${}F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$

Wir müssen zeigen, dass diese Faktoren mit den im Satz formulierten Faktoren in den beiden Fällen übereinstimmen.

Bei guter Reduktion wird

${}F_{p}(s)=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}={\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\,$

behauptet. Wir schreiben den letzten Bruch unter Verwendung von Fakt als geometrische Reihe, es ist also

${}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}p^{-s}-p^{1-2s}\right)}^{\ell }=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(a_{p}-p\cdot p^{-s}\right)}^{\ell }p^{-s\ell }\,.$

Wenn man hier (siehe Aufgabe mit ${}t=p^{-s}$) die Terme zusammenfasst, die sich auf ${}p^{-sk}$ beziehen, so erhält man Koeffizienten, die die Anfangsbedingungen und die rekursiven Bedingungen erfüllen, also mit den Koeffizienten aus den Definitionen übereinstimmen.

Der Fall von schlechter Reduktion folgt direkt aus der geometrischen Reihe.

$\Box$

Wenn man die Zeta-Funktion für die Primzahlen mit schlechter Reduktion als

${}Z(E_{p};t):={\frac {1-a_{p}t}{(1-t)(1-pt)}}\,$

bzw.

${}Z(E_{p};p^{-s}):={\frac {1-a_{p}p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-pp^{-s})}}\,$

ansetzt, so erhält man die Darstellung

${}{\begin{aligned}L(E,s)&=\prod _{p{\text{ schlechte Reduktion }}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}}}\cdot \prod _{p{\text{ gute Reduktion }}}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}\\&=\prod _{p{\text{ schlechte Reduktion }}}{\frac {1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})Z(E_{p};p^{-s})}}\cdot \prod _{p{\text{ gute Reduktion }}}{\frac {1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})Z(E_{p};p^{-s})}}\\&=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{1-s}}}\prod _{p}{\frac {1}{Z(E_{p};p^{-s})}}\\&=\zeta (s)\zeta (s-1)\prod _{p}{\frac {1}{Z(E_{p};p^{-s})}},\,\end{aligned}}$

und die ${}L$-Reihe ergibt sich bis auf die beiden Vorfaktoren, die von der Riemannschen Zetafunktion herkommen, als ein Produkt von invertierten Zetafunktionen.