Elliptische Kurve/Weierstraßform/Assoziativität/Fakt/Beweis

Beweis

Die drei Punkte seien ${}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$. Die Summe der ersten beiden Punkte ist

${}(x,y)=\left(\alpha ^{2}-x_{1}-x_{2},\,-\alpha ^{3}+\alpha (x_{1}+x_{2})-\beta \right)\,$

mit

${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+a}{y_{2}+y_{1}}}\,$

und

${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\,.$

Die Summe von diesem Element mit ${}(x_{3},y_{3})$ ist in der ersten Komponente

${}\gamma ^{2}-x-x_{3}=\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+x_{1}+x_{2}-x_{3}\,$

mit

${}\gamma ={\frac {y_{3}-y}{x_{3}-x}}\,$

${\frac {ax_{1}+ax_{2}+2b-2y_{1}y_{2}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}}$

$-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}{\left(\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)^{2}-x_{1}-x_{2}\right)}-y_{1}+\alpha x_{1}$

${}={\frac {ax+ax_{3}+2b-2yy_{3}+x^{2}x_{3}+xx_{3}^{2}}{x^{2}-2xx_{3}+x_{3}^{2}}}\,$

Zur bewiesenen Aussage

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