Endlichdimensionale K-Vektorräume/Stabilitätsbegriffe/Determinante/Keine Umkehrung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Dabei ist

${}M^{n}={\begin{pmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&{\frac {1}{3^{n}}}\end{pmatrix}}\,$

und wegen dem Eintrag links oben ist diese Matrixpotenzfolge nicht beschränkt, die Matrix ist also nicht stabil. Es ist

${}\det M^{n}=\det {\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&{\frac {1}{3^{n}}}\end{pmatrix}}={\left({\frac {2}{3}}\right)}^{n}\,$

und diese Folge konvergiert gegen ${}0$.

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