Endlichdimensionaler Vektorraum/Endomorphismenraum als Tensorprodukt/Spur/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow K,$

die sich aus der Identifizierung

${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}={V}^{*}\otimes _{K}V\,$

gemäß Aufgabe und der natürlichen Abbildung

${V}^{*}\otimes _{K}V\longrightarrow K,\,f\otimes v\longmapsto f(v),$

im Sinne von Aufgabe ergibt, gleich der Spur ist.

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