Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt kann man  $V=U\oplus W^{\prime }$  mit einem $K$-Untervektorraum $W^{\prime }$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs $W^{\prime }$)

$\pi :V⟶U$

mit  $\pi \circ \iota ={\mathrm{Id}}_U$,  wobei $\iota$ die Einbettung  $U\subseteq W$  bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit $n=\mathrm{ord}\left(G\right)$; dies ist eine Einheit in $K$)

$\psi :V⟶V,v⟼\frac{1}{n}\sum _{g\in G}{g}^{-1}(\pi (g(v))).$

Für  $u\in U$  ist (wegen $g(u)\in U$ und da $\pi$ auf $U$ die Identität ist)

$\begin{array}{cc}\psi (u)& =\frac{1}{n}\sum _{g\in G}{g}^{-1}(\pi (g(u)))\\ & =\frac{1}{n}\sum _{g\in G}{g}^{-1}(g(u))\\ & =\frac{1}{n}\sum _{g\in G}u\\ & =u\end{array}$

und das Bild von $\psi$ ist gleich $U$, d.h. $\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf $U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich $G$-verträglich. Für  $h\in G$  ist nämlich (mit $f=gh$)

$\begin{array}{cc}\psi (hv)& =\frac{1}{n}\sum _{g\in G}{g}^{-1}(\pi (g(hv)))\\ & =\frac{1}{n}\sum _{f\in G}(h{f}^{-1})(\pi (f(v)))\\ & =h(\frac{1}{n}\sum _{f\in G}{f}^{-1}(\pi (f(v))))\\ & =h(\psi (v)).\end{array}$

Wir setzen nun  $W:=\mathrm{kern}\psi$.  Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist $W$ nach Fakt ebenfalls $G$-invariant, und es ist offenbar

 $V=U\oplus W$. 

Zur gelösten Aufgabe