Endliche Gruppe/Lineare Operation/Hilbert-Reihe und Formel von Molien/Textabschnitt

Die lineare Operation von einer endlichen Gruppe ${}G$ auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ bzw. auf dem zugehörigen Polynomring ${}R=K[V]$ induziert eine ${}K$-lineare Operation ${}R_{d}\rightarrow R_{d}$ in jeder Stufe und der Invariantenring ${}R^{G}$ ist selbst graduiert. Dies ermöglicht folgende Definition.

Definition

Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear auf dem Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}\Phi _{G}(z)=\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}^{G}\right)}z^{d}\,$

die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.

Die Dimensionen der homogenen Stufen sind endlich und daher ist diese Definition sinnvoll. Die Hilbert-Reihe zur Operation ist einfach die Hilbert-Reihe des Invariantenringes.

Die Dimension des Fixraumes zu einer linearen Operation kann man über die Spur der einzelnen Automorphismen berechnen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ linear und treu operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$.

Dann besitzt der Fixraum der Operation (also der gemeinsame Eigenraum zum Eigenwert ${}1$) die Dimension

${}\dim _{K}{\left(V^{G}\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma \right)}\,.$

Beweis

Wir betrachten die lineare Abbildung

${}\pi ={\frac {1}{\vert {G}\vert }}\sum _{\sigma \in G}\sigma \,.$

Zu ${}w\in V$ ist ${}\pi (w)$ ${}G$-invariant und für ${}v\in V^{G}$ ist ${}\pi (v)=v$. Daher ist ${}\pi$ eine lineare Projektion

$V\longrightarrow V^{G}.$

Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der ${}m=\dim _{K}{\left(V^{G}\right)}$ Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist ${}\operatorname {Spur} {\left(\pi \right)}=m$. Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.

$\Box$

Der folgende Satz berechnet die Hilbert-Reihe (Formel von Molien).

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann ist

${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$

Beweis

Der lineare Automorphismus ${}\sigma$ ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung ${}{\sigma }^{*}$ die Gestalt

$X_{i}\longmapsto \xi _{i}X_{i}.$

Auf der ${}d$-ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus

$\sigma ^{(d)}\colon K[V]_{d}\longrightarrow K[V]_{d}$

mit ${}X^{\nu }\longmapsto \xi ^{\nu }X^{\nu }$. Die Eigenvektoren von ${}\sigma ^{(d)}$ sind die ${}{\binom {n+d-1}{d}}$ verschiedenen Monome

$X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$

(es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$) mit ${}\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d$ mit den Eigenwerten ${}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}$. Die Spur von ${}\sigma ^{(d)}$ ist daher

${}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\vert {\nu }\vert =d}\xi ^{\nu }\,.$

Nach Fakt ergibt sich

${}\dim _{K}{\left(\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\,$

mit

${}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}=\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{n}^{\nu _{n}}\,.$

Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe

${}{\begin{aligned}\Phi _{G}(z)&=\sum _{d=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma ^{(d)}\right)}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{d=0}^{\infty }{\left(\sum _{\sigma \in G}\sum _{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}=d}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}\right)}z^{d}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}\cdots \xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,1}^{\nu _{1}}z^{\nu _{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }\xi _{\sigma ,n}^{\nu _{n}}z^{\nu _{n}}\right)}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{{\left(1-z\xi _{\sigma ,1}\right)}\cdots {\left(1-\xi _{\sigma ,n}\right)}}}\\&={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}.\end{aligned}}$

$\Box$

Die Formel besagt insbesondere, dass diese Potenzreihe eine rationale Funktion (also ein Quotient aus zwei Polynomen) ist und daher nur endlich viele Polstellen hat. Die Nennerpolynome in den Summanden erinnern an die charakteristischen Polynome der Gruppenelemente, doch steht hier die Variable bei der linearen Abbildung, nicht bei der Identität.