Endliche Gruppe/Lineare Operation/Hilbert-Reihe und Formel von Molien/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die lineare Operation von einer endlichen Gruppe auf einem -Vektorraum bzw. auf dem zugehörigen Polynomring induziert eine -lineare Operation in jeder Stufe und der Invariantenring ist selbst graduiert. Dies ermöglicht folgende Definition.


Definition  

Die endliche Gruppe operiere linear auf dem Polynomring . Dann nennt man die Potenzreihe

die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.

Die Dimensionen der homogenen Stufen sind endlich und daher ist diese Definition sinnvoll. Die Hilbert-Reihe zur Operation ist einfach die Hilbert-Reihe des Invariantenringes.

Die Dimension des Fixraumes zu einer linearen Operation kann man über die Spur der einzelnen Automorphismen berechnen.



Lemma  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum, auf dem eine endliche Gruppe linear und treu operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von .

Dann besitzt der Fixraum der Operation (also der gemeinsame Eigenraum zum Eigenwert ) die Dimension

Beweis  

Wir betrachten die lineare Abbildung

Zu ist -invariant und für ist . Daher ist eine lineare Projektion

Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben, in der Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist . Die Behauptung folgt daraus, dass die Spur additiv ist.


Der folgende Satz berechnet die Hilbert-Reihe (Formel von Molien).



Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik . Die endliche Gruppe operiere linear auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

Dann ist

Beweis  

Der lineare Automorphismus ist nach Fakt diagonalisierbar, da er endliche Ordnung hat. In einer geeigneten Basis besitzt die duale Abbildung die Gestalt

Auf der -ten Stufe induziert dies den linearen Automorphismus

mit . Die Eigenvektoren von sind die verschiedenen Monome

(es sei ) mit mit den Eigenwerten . Die Spur von ist daher

Nach Fakt ergibt sich

mit

Damit ist unter Verwendung der geometrischen Reihe


Die Formel besagt insbesondere, dass diese Potenzreihe eine rationale Funktion (also ein Quotient aus zwei Polynomen) ist und daher nur endlich viele Polstellen hat. Die Nennerpolynome in den Summanden erinnern an die charakteristischen Polynome der Gruppenelemente, doch steht hier die Variable bei der linearen Abbildung, nicht bei der Identität.