Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Laurententwicklung der Hilbertreihe/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach der Molien-Formel ist

Die Summanden haben die Gestalt

wobei die die Eigenwerte (mit Wiederholungen) von seien. Für hat der entsprechende Summand in einen Pol der Ordnung . Für haben die Summanden an einen Pol von maximaler Ordnung . Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert die Vielfachheit besitzt, wenn also eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist

da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu in der Laurent-Entwicklung gleich

(im hinteren Faktor wird gesetzt). Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist

Zur bewiesenen Aussage