Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen $c_{i} = \sum_{j = 1}^{n} t_{i j} b_{j}$ für jedes $i$ . Damit gilt

c_{i} c_{k} = (\sum_{j = 1}^{n} t_{i j} b_{j}) (\sum_{m = 1}^{n} t_{k m} b_{m}) = \sum_{j, m} t_{i j} t_{k m} b_{j} b_{m} .

Wir schreiben $c_{i k} := S (c_{i} c_{k})$ und $b_{j m} := S (b_{j} b_{m})$ . Wegen der $K$ -Linearität der Spur gilt

c_{i k} = S (c_{i} c_{k}) = S (\sum_{j, m} t_{i j} t_{k m} b_{j} b_{m}) = \sum_{j, m} t_{i j} t_{k m} S (b_{j} b_{m}) = \sum_{j, m} t_{i j} t_{k m} b_{j m} .

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen $C = (c_{i k})$ , $B = (b_{j m})$ und $T = (t_{i j})$ als

C = T^{t r a n s p} B T

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und