Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}K\subseteq L$  normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist  ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$.  Zu ${}x_{i}$ sei  ${}F_{i}\in K[X]$  das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes ${}F_{i}$ in ${}L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist ${}L$ der Zerfällungskörper des Produktes  ${}F=F_{1}\cdots F_{n}$. 
Es sei nun  ${}L=Z(F)$  ein Zerfällungskörper, und sei  ${}F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$  die Faktorzerlegung zu den Nullstellen  ${}\alpha _{i}\in L$,  die den Körper ${}L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt  (4) anwenden. Es sei also  ${}L\subseteq M$  eine Körpererweiterung und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Es ist dann

${}F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,$

da sich die Koeffizienten von ${}F$ nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört ${}\varphi (\alpha _{i})$ zur Nullstellenmenge ${}\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ und damit insbesondere zu ${}L$. Daher gilt generell  ${}\varphi (L)\subseteq L$. 

Zur bewiesenen Aussage