Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist . Zu sei das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes in in Linearfaktoren. Daher ist der Zerfällungskörper des Produktes .
Sei nun ein Zerfällungskörper, und sei die Faktorzerlegung zu den Nullstellen , die den Körper erzeugen. Wir werden das Kriterium Fakt  (4) anwenden. Sei also eine Körpererweiterung und sei

ein -Algebrahomomorphismus. Es ist dann

da sich die Koeffizienten von nicht ändern (vergleiche Fakt), und somit gehört zur Nullstellenmenge und damit insbesondere zu . Daher gilt generell .

Zur bewiesenen Aussage