Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}K=\mathbb {Q} [z]$ vom Grad ${}k$. Nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom und nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich ${}(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})$. Der Vergleich des konstanten Koeffizienten und des Koeffizienten zu ${}X^{k-1}$ ergibt die Behauptung.

Im Allgemeinen sei

${}\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [z]\subseteq L\,$

und es sei ${}M$ die Matrix über ${}\mathbb {Q}$, die die Multiplikation mit ${}z$ auf ${}K$ bezüglich einer ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}y_{1},\ldots ,y_{k}$ beschreibt. Zu einer ${}K$-Basis ${}z_{1},\ldots ,z_{\ell }$ von ${}L$ ist ${}y_{i}z_{j}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$, und die Multiplikation mit ${}z$ auf ${}L$ wird durch die Blockmatrix

${\begin{pmatrix}M&0&\ldots &0\\0&M&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&M\end{pmatrix}}$

beschrieben. Deren Spur ist das ${}\ell$-Fache der Spur von ${}M$ und deren Determinante ist die ${}\ell$-te Potenz der Determinante von ${}M$. Ebenso treten die verschiedenen komplexen Zahlen ${}z_{i}$ jeweils ${}\ell$-fach auf.

Zur bewiesenen Aussage