Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Für ${}\sigma \in G$ ist

${}{\begin{aligned}F\sigma &={\left(\prod _{j=1}^{r}{\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\right)}\sigma \\&=\prod _{j=1}^{r}{\left({\left(b_{j}U-a_{j}V\right)}\sigma \right)}.\end{aligned}}$

Wir wissen, dass ${}\sigma {\begin{pmatrix}a_{j}\\b_{j}\end{pmatrix}}$ projektiv betrachtet gleich einem der Punkte, sagen wir gleich ${}{\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\end{pmatrix}}$, ist. Dies bedeutet, dass ${}\sigma {\begin{pmatrix}a_{j}\\b_{j}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\end{pmatrix}}$ den gleichen eindimensionalen Untervektorraum von ${}{\mathbb {C} }^{2}$ definieren, und daher ist

${}\sigma {\begin{pmatrix}a_{j}\\b_{j}\end{pmatrix}}=\xi _{j}{\begin{pmatrix}a_{k}\\b_{k}\end{pmatrix}}\,$

mit einem gewissen ${}\xi _{j}\in {\mathbb {C} }^{\times }$. Da dies für jedes ${}j$ gilt, und da die Wirkung von ${}\sigma$ auf der zugrunde liegenden Punktmenge ${}K$ bijektiv ist, also in ${}F\sigma$ die (bis auf Streckung) gleichen Linearfaktoren wie in ${}F$ vorkommen, gilt

${}F\sigma =\zeta F\,$

mit einem ${}\zeta =\prod _{j=1}^{r}\xi _{j}\in {\mathbb {C} }^{\times }$. Wir betrachten die Zuordnung

$G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,\sigma \longmapsto {\frac {F\sigma }{F}}.$

Dies ist ein Charakter, wie man sieht, wenn man das Verhalten der einzelnen Faktoren betrachtet. Daher ist ${}F$ eine Semiinvariante.
(2) ist ein Spezialfall von (1).
(3). Da ${}F$ semiinvariant ist, ist insbesondere sein Nullstellengebilde, also die Vereinigung der Geraden zu den beteiligten Linearformen, invariant. Das Bild einer solchen Geraden unter ${}\sigma \in G$ muss also eine der Geraden sein. Die Gleichheit von Geraden bedeutet aber, dass ihre zugehörigen Punkte auf der projektiven Gerade übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage