Endliche Untergruppe der SU2C/Produkte der Linearformen/Semiinvarianten/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Für ist

Wir wissen, dass projektiv betrachtet gleich einem der Punkte, sagen wir gleich , ist. Dies bedeutet, dass und den gleichen eindimensionalen Untervektorraum von definieren, und daher ist

mit einem gewissen . Da dies für jedes gilt, und da die Wirkung von auf der zugrunde liegenden Punktmenge bijektiv ist, also in die (bis auf Streckung) gleichen Linearfaktoren wie in vorkommen, gilt

mit einem . Wir betrachten die Zuordnung

Dies ist ein Charakter, wie man sieht, wenn man das Verhalten der einzelnen Faktoren betrachtet. Daher ist eine Semiinvariante.
(2) ist ein Spezialfall von (1).
(3). Da semiinvariant ist, ist insbesondere sein Nullstellengebilde, also die Vereinigung der Geraden zu den beteiligten Linearformen, invariant. Das Bild einer solchen Geraden unter muss also eine der Geraden sein. Die Gleichheit von Geraden bedeutet aber, dass ihre zugehörigen Punkte auf der projektiven Gerade übereinstimmen.