Endliche freie Algebren/Rangformel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}\operatorname {Rang} _{R}S=n$ und ${}\operatorname {Rang} _{S}T=m$. Es sei  ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in S$  eine ${}R$-Basis von ${}S$ und  ${}y_{1},\ldots ,y_{m}\in T$  eine ${}S$-Basis von ${}T$. Wir behaupten, dass die Produkte

$x_{i}y_{j},1\leq i\leq n,1\leq j\leq m,$

eine ${}R$-Basis von ${}T$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum ${}T$ über ${}R$ erzeugen. Es sei dazu  ${}z\in T$.  Wir schreiben

$z=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}{\text{ mit Koeffizienten }}b_{j}\in S.$

Wir können jedes ${}b_{j}$ als ${}b_{j}=a_{1j}x_{1}+\cdots +a_{nj}x_{n}$ mit Koeffizienten ${}a_{ij}\in R$ ausdrücken. Das ergibt

${}{\begin{aligned}z&=b_{1}y_{1}+\cdots +b_{m}y_{m}\\&=(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{n1}x_{n})y_{1}+\cdots +(a_{1m}x_{1}+\cdots +a_{nm}x_{n})y_{m}\\&=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}a_{ij}x_{i}y_{j}.\end{aligned}}$

Daher ist ${}z$ eine ${}R$-Linearkombination der Produkte ${}x_{i}y_{j}$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

${}0=\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}c_{ij}x_{i}y_{j}\,$

mit  ${}c_{ij}\in R$  angenommen. Wir schreiben dies als  ${}0=\sum _{j=1}^{m}{\left(\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\right)}y_{j}$.  Da die ${}y_{j}$ linear unabhängig über ${}S$ sind und die Koeffizienten der ${}y_{j}$ zu ${}S$ gehören, folgt, dass  ${}\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}=0$  ist für jedes ${}j$. Da die ${}x_{i}$ linear unabhängig über ${}R$ sind und  ${}c_{ij}\in R$  ist, folgt, dass  ${}c_{ij}=0$  für alle ${}i,j$ ist.

Zur bewiesenen Aussage