Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Quadratabbildung

$K^{\times }\longrightarrow K^{\times },\,x\longmapsto x^{2},$

der Einheitengruppe in sich selbst. Dies ist ein Gruppenhomomorphismus. Eine Einheit ist genau ein Quadrat, wenn sie im Bild dieser Abbildung liegt. Der Kern besteht aus den Elementen, deren Quadrat gleich ${}1$ ist. Das sind die beiden Elemente ${}1$ und ${}-1$ (die aufgrund der Voraussetzung über die Charakteristik verschieden sind). Der Isomorphiesatz liefert, dass das Bild isomorph zur Ausgangsgruppe ${}K^{\times }$ modulo ${}\{1,-1\}$ ist und insbesondere aus ${}{\frac {\#\left(K^{\times }\right)}{2}}$ Elementen besteht.

Zur bewiesenen Aussage