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Endlicher Körper/Einheiten/Satz von Wilson/Textabschnitt

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Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.



Es sei ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich .

Die Gleichung hat in einem Körper nur die Lösungen und , die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für immer ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

schreiben. Ist , so ist das Produkt . Ist hingegen , so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist .


Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson.


Es sei eine Primzahl.

Dann ist .

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen und läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper .