Endlicher Körper/Einheiten/Satz von Wilson/Textabschnitt

Definition

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Satz

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von ${}0$ verschiedenen Elemente aus ${}K$ gleich ${}-1$.

Beweis

Die Gleichung  ${}x^{2}=1$  hat in einem Körper nur die Lösungen ${}1$ und ${}-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für  ${}x\neq 1,-1$  immer  ${}x\neq x^{-1}$  ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

$1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$

schreiben. Ist  ${}-1\neq 1$,  so ist das Produkt ${}-1$. Ist hingegen  ${}-1=1$,  so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist  ${}1=-1$. 

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Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson.

Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist  ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$. 

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen ${}1$ und ${}p-1$ läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$.

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