Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Vektorbündel/Etale trivialisierbar und Frobenius Periodizität/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}E$ étale trivialisierbar und sei

$\rho \colon \pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$

die nach Fakt zugehörige lineare Darstellung. Da diese Zuordnung funktoriell ist, und da der absolute Frobenius auf der étalen Fundamentalgruppe die Identität ist, aber die Körperelemente durch ihre ${}p$-te Potenz interpretiert werden müssen, entspricht der Frobenius-Rückzug des Bündels der Darstellung ${}\rho ^{(p)}$, bei der sämtliche Matrixeinträge durch ihre ${}p$-te Potenzen ersetzt werden. Das Bild der Darstellung ${}\rho$ ist eine endliche Untergruppe der ${}\operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$, so dass es einen endlichen Körper ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$ gibt, in dem sämtliche Einträge der beteiligten Matrizen liegen. Daher stimmen diese Matrizen mit ihren komponentenweise genommenen ${}p^{e}$-ten Potenzen überein und daher ist der ${}e$-te Frobenius-Rückzug des Bündels isomorph zum Ausgangsbündel.

Es sei umgekehrt ${}F^{e*}E\cong E$. Das Vektorbündel ${}E$ wird durch einen Kozykel (ein Verklebedatum) beschrieben, also eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und invertierbare Übergangsmatritzen ${}T_{ij}\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(A_{ij}\right)}$ mit ${}A_{ij}=\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X})$, die für drei Indizes verträglich sein müssen. Der ${}e$-te Frobenius-Rückzug wird durch die Übergangsmatrizen ${}T_{ij}^{(q)}$ beschrieben, wobei komponentenweise potenziert wird. Die Isomorphie bedeutet, dass es (auf einer eventuell verfeinerten offenen affinen Überdeckung) invertierbare Matrizen ${}M_{i}\in \operatorname {GL} _{r}\!{\left(A_{i}\right)}$ (mit $A_{i}=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$) gibt, die die Beziehung (das ist die Korandbedingung)

${}M_{i}T_{ij}M_{j}^{-1}=T_{ij}^{(q)}\,$

erfüllen. Wir betrachten zu jedem ${}i\in I$ die zu ${}A_{i}$ und ${}M_{i}$ in Fakt mit Hilfe von Variablentupeln ${}X^{(i)}=X_{rs}^{(i)}$ konstruierten étalen endlichen ${}A_{i}$-Algebren ${}B_{i}$. Es seien

$V_{i}\longrightarrow U_{i}$

die zugehörigen Überlagerungen. Diese verkleben mittels der Identifizierungen ${}X_{rs}^{(i)}=T_{ij}X_{rs}^{(j)}$ (auf ${}U_{i}\cap U_{j}$) zu einer endlichen étalen Überlagerung ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$. Nach Konstruktion hat man die invertierbaren Variablenmatrizen ${}X^{(i)}\in \Gamma (V_{i},{\mathcal {O}}_{Y})$ zur Verfügung und für den zurückgezogenen Kozykel ${}T_{ij}$ gilt ${}T_{ij}=X^{(i)}\circ (X^{(j)})^{-1}$. Der Rückzug des Bündels ${}E$ nach ${}Y$ wird durch diesen Kozykel beschrieben und ist daher trivial.

Zur bewiesenen Aussage