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Endlicher Körper/Glatte projektive Kurve/Vektorbündel/Etale trivialisierbar und Frobenius Periodizität/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei zunächst étale trivialisierbar und sei

die nach Fakt zugehörige lineare Darstellung. Da diese Zuordnung funktoriell ist, und da der absolute Frobenius auf der étalen Fundamentalgruppe die Identität ist, aber die Körperelemente durch ihre -te Potenz interpretiert werden müssen, entspricht der Frobenius-Rückzug des Bündels der Darstellung , bei der sämtliche Matrixeinträge durch ihre -te Potenzen ersetzt werden. Das Bild der Darstellung ist eine endliche Untergruppe der , so dass es einen endlichen Körper gibt, in dem sämtliche Einträge der beteiligten Matrizen liegen. Daher stimmen diese Matrizen mit ihren komponentenweise genommenen -ten Potenzen überein und daher ist der -te Frobenius-Rückzug des Bündels isomorph zum Ausgangsbündel.

Es sei umgekehrt . Das Vektorbündel wird durch einen Kozykel (ein Verklebedatum) beschrieben, also eine offene Überdeckung und invertierbare Übergangsmatritzen mit , die für drei Indizes verträglich sein müssen. Der -te Frobenius-Rückzug wird durch die Übergangsmatrizen beschrieben, wobei komponentenweise potenziert wird. Die Isomorphie bedeutet, dass es (auf einer eventuell verfeinerten offenen affinen Überdeckung) invertierbare Matrizen (mit ) gibt, die die Beziehung (das ist die Korandbedingung)

erfüllen. Wir betrachten zu jedem die zu und in Fakt mit Hilfe von Variablentupeln konstruierten étalen endlichen -Algebren . Es seien

die zugehörigen Überlagerungen. Diese verkleben mittels der Identifizierungen (auf ) zu einer endlichen étalen Überlagerung . Nach Konstruktion hat man die invertierbaren Variablenmatrizen zur Verfügung und für den zurückgezogenen Kozykel gilt . Der Rückzug des Bündels nach wird durch diesen Kozykel beschrieben und ist daher trivial.