Endlicher Raum/3 Punkte/Einer generisch/Generisch Z/Kohomologie/Beispiel

Wir betrachten den topologischen Raum  $X=\{a,b,c\}$  mit den offenen Mengen $\mathrm{\varnothing },X,U=\{a,c\},V=\{b,c\},U\cap V=\{c\}$. Dieser Raum besitzt die beiden abgeschlossenen Punkte $a$ und $b$, er ist irreduzibel und $c$ ist der generische Punkt. Abgesehen von der leeren Menge bilden die offenen Mengen das Inklusionsdiagramm

$\begin{array}{cccc}X& \stackrel{}{⟵}& U& \\ \uparrow & & \uparrow & \\ V& \stackrel{}{⟵}& U\cap V& .\end{array}$

Eine Garbe von kommutativen Gruppen auf $X$ ist gegeben, wenn man diesen Teilmengen Gruppen und Restriktionshomomorphismen zuweist (und die Verträglichkeitsbedingung überprüft). Wir betrachten die Garbe $ℱ$, die durch

$\begin{array}{cccc}0& \stackrel{}{⟶}& 0& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ 0& \stackrel{}{⟶}& \mathbb{Z}& \end{array}$

gegeben ist. Diese kann man in die konstante Garbe $ℱ$ (mit Identitäten)

$\begin{array}{cccc}\mathbb{Z}& \stackrel{}{⟶}& \mathbb{Z}& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \mathbb{Z}& \stackrel{}{⟶}& \mathbb{Z}& \end{array}$

einbetten. Die Quotientengarbe $𝒢/ℱ$ ist durch

$\begin{array}{cccc}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}& \stackrel{p_2}{⟶}& \mathbb{Z}& \\ p_1\downarrow & & \downarrow & \\ \mathbb{Z}& \stackrel{}{⟶}& 0& \end{array}$

gegeben. Die Werte für $U\cap V,U,V$ ergeben sich direkt durch Restklassenbildung, die Vergarbung hat keinen Effekt, und für $X$ ergibt sich das Produkt $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, da die Schnitte über $U$ und $V$ automatisch verträglich sind. Somit ist die globale Abbildung

$\Gamma (X,𝒢)=\mathbb{Z}⟶\Gamma (X,𝒢/ℱ)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$

nicht surjektiv, die lange exakte Kohomologiesequenz ist vielmehr

$0⟶0⟶\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\stackrel{\delta }{⟶}{H}^1(X,ℱ)=\mathbb{Z}⟶0.$

Hierbei geht vorne $n\mapsto (n,n)$ und hinten $(r,s)\mapsto (r-s)$ (das folgt aus der Exaktheit).