Endlicher freier Modul/Basiswechsel/Diagramm/Einführung/Textabschnitt

Wir wissen nach Fakt, dass in einem endlich erzeugten freien $R$ -Modul je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor $v \in M$ besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten (oder Koeffizienten). Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier

$R$ -Modul vom Rang $n$ . Es seien $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ zwei Basen von $M$ . Es sei

v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}

mit den Koeffizienten $c_{i j} \in R$ , die wir zur $n \times n$ -Matrix

M_{𝔴}^{𝔳} = {(c_{i j})}_{i j}

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor $u$ , der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $(\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix})$ besitzt, bezüglich der Basis $𝔴$ die Koordinaten

$(\begin{matrix} t_{1} \\ ⋮ \\ t_{n} \end{matrix}) = M_{𝔴}^{𝔳} (\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix}) .$

Beweis

Dies folgt direkt aus

u = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{j} = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} (\sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} s_{j} c_{i j}) w_{i}

und der Definition der Matrizenmultiplikation.

◻

Wenn wir die zu einer Basis $𝔳$ gehörende bijektive Abbildung (siehe Bemerkung)

Ψ_{𝔳} : R^{n} ⟶ M

betrachten, so kann man die vorstehende Aussage auch so ausdrücken, dass das Dreieck

\begin{matrix} R^{n} & \overset{M_{𝔴}^{𝔳}}{⟶} & R^{n} \\ Ψ_{𝔳} ↘ & ↓ Ψ_{𝔴} \\ M \end{matrix}

kommutiert.^[1]

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier

$R$ -Modul vom Rang $n$ . Es seien $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ zwei Basen von $V$ . Es sei

v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}

mit den Koeffizienten $c_{i j} \in R$ . Dann nennt man die $n \times n$ -Matrix

M_{𝔴}^{𝔳} = (c_{i j})_{i j}

die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔴$ .

Statt Übergangsmatrix sagt man auch Transformationsmatrix oder Basiswechselmatrix.

Bemerkung

Es sei $V$ ein endlich erzeugter freier Modul. In der $j$ -ten Spalte der Transformationsmatrix $M_{𝔴}^{𝔳}$ stehen die Koordinaten von $v_{j}$ bezüglich der Basis $𝔴$ . Der Vektor $v_{j}$ hat bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $e_{j}$ , und wenn man die Matrix auf $e_{j}$ anwendet, erhält man die $j$ -te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von $v_{j}$ in der Basis $𝔴$ . Bei einem eindimensionalen Raum mit

v = c w

ist $M_{𝔴}^{𝔳} = c = \frac{v}{w}$ , wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist

𝔳 = {(M_{𝔴}^{𝔳})}^{tr} 𝔴,

wobei hier die Matrix aber nicht auf ein $n$ -Tupel aus $R$ , sondern auf ein $n$ -Tupel aus $V$ angewendet wird und sich ein neues $n$ -Tupel aus $V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Fakt beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.

Wenn

V = R^{n}

und $𝔢$ die Standardbasis davon ist und $𝔳$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix $M_{𝔳}^{𝔢}$ von $𝔢$ nach $𝔳$ , indem man $e_{j}$ als Linearkombination der Basisvektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht $M_{𝔢}^{𝔳}$ einfach aus den $v_{1}, \dots, v_{n}$ als Spalten geschrieben.

Beispiel

Wir betrachten im $ℝ^{2}$ die Standardbasis

𝔲 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

und die Basis

𝔳 = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) .

Die Basisvektoren von $𝔳$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = 1 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) = - 2 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) .

Daher erhält man sofort

M_{𝔲}^{𝔳} = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) .

Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich $𝔳$ die Koordinaten $(4, - 3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis $𝔲$ die Koordinaten

M_{𝔲}^{𝔳} (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 1 \end{matrix}) .

Die Übergangsmatrix $M_{𝔳}^{𝔲}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von $v_{1}$ und $v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{3}{7} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) - \frac{2}{7} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{2}{7} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{7} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) .

Somit ist

M_{𝔳}^{𝔲} = (\begin{matrix} \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ - \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \end{matrix}) .

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier

$R$ -Modul vom Rang $n$ . Es seien $𝔲 = u_{1}, \dots, u_{n}, 𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ Basen von $M$ .

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

$M_{𝔴}^{𝔲} = M_{𝔴}^{𝔳} \circ M_{𝔳}^{𝔲} .$

Insbesondere ist

M_{𝔳}^{𝔲} \circ M_{𝔲}^{𝔳} = E_{n} .

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

↑ Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzten Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur $Ψ_{𝔳} = Ψ_{𝔴} \circ M_{𝔴}^{𝔳}$ .

[1] Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzten Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur $Ψ_{𝔳} = Ψ_{𝔴} \circ M_{𝔴}^{𝔳}$ .

[1]