Endlicher freier Modul/Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter freier

${}R$-Modul vom Rang ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}M$.

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

Insbesondere ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\circ M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=E_{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen