Endlicher freier Modul/Basiswechsel/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter freier

${}R$-Modul vom Rang ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}M$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten  ${}c_{ij}\in R$,  die wir zur ${}n\times n$-Matrix

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,$

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen