Endomorphismus/Kern von Polynom gleich direktem Produkt der Primärkomponenten von Primteilern/Fakt

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $f\in {\mathrm{End}}_{K}V$ ein fixierter Endomorphismus. Es sei $P\in K[X]$ ein von Null verschiedenes Polynom mit der Primfaktorzerlegung $P=P_i^{e_i}\cdots P_r^{e_r}$.

Dann gilt

$\mathrm{Kern}(P(f))=\underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}{V}_f^{e_i}(P_i).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen