Endomorphismus/Kern von Polynom gleich direktem Produkt der Primärkomponenten von Primteilern/Fakt/Beweis

Beweis

Der $\mathrm{Kern}(P(f))$ ist selbstverständlich im Torsionsuntermodul $\mathrm{t}{V}_f$ enthalten und zerfällt, weil $PV(p)\subseteq V(p)$ für alle Primpolynome $p$, in die direkte Summe der Untermoduln

$\mathrm{Kern}(P(f))\cap V(p)=\{x\in V_f\mid p(f)(x)=0\text{ und }P(f)(x)=0\}.$

Dies ist $V^{e_i}(P_i)$, immer wenn $p=P_i$ für ein $i\in \{1,\dots ,r\}$ und $0$ sonst.

Zur bewiesenen Aussage