Endomorphismus/Kern von Polynom gleich direktem Produkt der Primärkomponenten von Primteilern/Fakt/Beweis

Beweis

Der ${}\operatorname {Kern} \left(P(f)\right)$ ist selbstverständlich im Torsionsuntermodul ${}\operatorname {t} V_{f}$ enthalten und zerfällt, weil ${}PV(p)\subseteq V(p)$ für alle Primpolynome ${}p$, in die direkte Summe der Untermoduln

$\operatorname {Kern} \left(P(f)\right)\cap V(p)=\left\{x\in V_{f}{|}p(f)(x)=0{\text{ und }}P(f)(x)=0\right\}.$

Dies ist ${}V^{e_{i}}(P_{i})$, immer wenn ${}p=P_{i}$ für ein ${}i\in \{1,\ldots ,r\}$ und ${}0$ sonst.

Zur bewiesenen Aussage