Endomorphismus/Q^3/Kein invarianter Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&2\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

und die zugehörige lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{3}$. Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{\varphi }&=\det \left(X{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&2\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}X&0&-2\\-1&X&0\\0&-1&X\end{pmatrix}}\\&=X^{3}-2.\end{aligned}}$

Dieses Polynom besitzt über ${}\mathbb {Q}$ keine Nullstelle, da die einzige reelle Nullstelle bei ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ vorliegt, und dies nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehört. Daher besitzt die Matrix keine Eigenwerte, keine Eigenvektoren und keine eindimensionalen ${}\varphi$-invarianten Untervektorräume. Nehmen wir an, dass es einen zweidimensionalen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum ${}U$ gibt. Dann kann ${}\varphi$ durch eine Matrix der Form

${\begin{pmatrix}a&b&x\\c&d&y\\0&0&z\end{pmatrix}}$

beschrieben werden. Doch dann zeigt das charakteristische Polynom, dass ${}z$ ein Eigenwert ist, was nicht sein kann.

Zur gelösten Aufgabe