Endomorphismus/Zerlegung in invariante Untervektorräume/Invarianter Untervektorraum/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

eine direkte Summenzerlegung in ${}\varphi$-invariante Untervektorräume. Wir können also  ${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}$  mit  ${}\varphi _{1}=\varphi {|}_{V_{1}}$  und  ${}\varphi _{2}=\varphi {|}_{V_{2}}$  schreiben.

a) Es sei  ${}U_{1}\subseteq V_{1}$  ein ${}\varphi _{1}$-invarianter Untervektorraum und  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  ein ${}\varphi _{2}$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass ${}U_{1}\oplus U_{2}$ ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum ist.

b) Man gebe ein Beispiel für einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum  ${}U\subseteq V$,  der nicht von der in a) beschriebenen Form ist.

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