Endomorphismus/Zerlegung in invariante Untervektorräume/Invarianter Untervektorraum/Aufgabe/Lösung

a) Sei  ${}v\in U_{1}\oplus U_{2}$,  also

${}v=v_{1}+v_{2}\,$

mit  ${}v_{1}\in U_{1}\subseteq V_{1}$  und  ${}v_{2}\in U_{2}\subseteq V_{2}$.  Dann ist

${}\varphi (v)=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\,,$

und dies gehört zu ${}U_{1}\oplus U_{2}$ aufgrund der ${}\varphi _{1}$-Invarianz von ${}U_{1}$ und der ${}\varphi _{2}$-Invarianz von ${}U_{2}$.

b) Wir betrachten die Identität auf  ${}V=K^{2}=Ke_{1}\oplus Ke_{2}$.  Bezüglich der Identität ist jeder Untervektorraum invariant, insbesondere liegt eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume vor. Der Untervektorraum  ${}U=K(e_{1}+e_{2})$ 

ist ebenfalls invariant, ist aber keine direkte Summe von Untervektorräumen von ${}Ke_{1}$ und ${}Ke_{2}$.

Zur gelösten Aufgabe