Euklidische Norm/Summennorm/Schnittpunkte/1/Aufgabe/Lösung

Es sei

{}v={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.

Die beiden Bedingungen sind

{}x^{2}+y^{2}=1\,

und

{}\vert {x}\vert +\vert {y}\vert ={\frac {7}{5}}\,.

Wegen der Symmetrie der Situation betrachten wir den Fall, wo beide Koordinaten positiv sind. Die zweite Bedingung ist dann

{}x+y={\frac {7}{5}}\,

bzw.

{}y={\frac {7}{5}}-x\,.

Dies setzen wir in die quadratische Gleichung ein und erhalten die Bedingung

{}{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=x^{2}+{\left({\frac {7}{5}}-x\right)}^{2}\\&=x^{2}+x^{2}+{\frac {49}{25}}-{\frac {14}{5}}x\\&=2x^{2}-{\frac {14}{5}}x+{\frac {49}{25}}\\&=1\end{aligned}}

bzw.

{}2x^{2}-{\frac {14}{5}}x+{\frac {24}{25}}=0\,

und

{}x^{2}-{\frac {7}{5}}x+{\frac {12}{25}}=0\,.

Die Lösungen sind

{}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {7}{5}}\pm {\sqrt {\left({\frac {7}{5}}\right)^{2}-{\frac {48}{25}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {7}{5}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{25}}-{\frac {48}{25}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {7}{5}}\pm {\sqrt {\frac {1}{25}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {7}{5}}\pm {\frac {1}{5}}}{2}}\\&={\frac {4}{5}},{\frac {3}{5}}.\end{aligned}}

Unter Berücksichtigung der Symmetrien ergeben sich die acht Lösungen

{}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\pm {\frac {4}{5}}\\\pm {\frac {3}{5}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\pm {\frac {3}{5}}\\\pm {\frac {4}{5}}\end{pmatrix}}\,.