Euklidische Räume/Winkeltreue Abbildungen/Textabschnitt
Definition
Eine lineare Abbildung
zwischen euklidischen Vektorräumen und heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren die Beziehung
gilt.
Da Winkel nur für von verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine Isometrie ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind Streckungen um einen von verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe. Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet.
Beispiel
Es sei
eine -lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl
gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis von wird diese Abbildung durch die reelle -Matrix
beschrieben. Diese schreiben wir als
Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor
und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.
Satz
Es sei
eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum .
Dann gibt es eine Isometrie
und eine Streckung
mit
Beweis
Es sei
und es sei
wobei die Dimension von sei. Es sei die Streckung mit dem Faktor und wir betrachten die Abbildung
Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist oder . Nach Aufgabe ist eine Isometrie.
Bemerkung
Bei einer winkeltreuen Abbildung
zwischen euklidischen Vektorräumen und werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte stimmt ja der Winkel des Dreiecks an wegen
mit dem Winkel an des Bilddreiecks überein.