Euklidische Räume/Winkeltreue Abbildungen/Textabschnitt

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Definition  

Eine lineare Abbildung

zwischen euklidischen Vektorräumen und heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren die Beziehung

gilt.

Da Winkel nur für von verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine Isometrie ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind Streckungen um einen von verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe. Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet.


Beispiel  

Es sei

eine -lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl

gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis von wird diese Abbildung durch die reelle -Matrix

beschrieben. Diese schreiben wir als

Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor

und insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor.




Satz  

Es sei

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum .

Dann gibt es eine Isometrie

und eine Streckung

mit

Beweis  

Es sei

und es sei

wobei die Dimension von sei. Es sei die Streckung mit dem Faktor und wir betrachten die Abbildung

Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist oder . Nach Aufgabe ist eine Isometrie.


Bemerkung  

Bei einer winkeltreuen Abbildung

zwischen euklidischen Vektorräumen und werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte stimmt ja der Winkel des Dreiecks an wegen

mit dem Winkel an des Bilddreiecks überein.