Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Produktformel bei Primfaktorzerlegung/Vollständig/Fakt

Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung

n = p_{1}^{r_{1}} \dots p_{k}^{r_{k}}

(die $p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i} \geq 1$ ).

Dann ist

$φ (n) = φ (p_{1}^{r_{1}}) \dots φ (p_{k}^{r_{k}}) = (p_{1} - 1) p_{1}^{r_{1} - 1} \dots (p_{k} - 1) p_{k}^{r_{k} - 1} .$