Faktorieller Bereich/Exponententest/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und  ${}p\in R$  ein Primelement. Dann heißt zu jedem ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, die natürliche Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit ${}p^{n}{|}f$ aber ${}p^{n+1}\not {|}f$, der Exponent (oder die Ordnung) von ${}f$ zu ${}p$. Er wird mit ${}{\nu _{p}(f)}$ bezeichnet.

Wenn von ${}f$ die kanonische Primfaktorzerlegung

${}f=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

und ${}p$ zu ${}p_{i}$ assoziiert ist, so ist

${}{\nu _{p}(f)}=r_{i}\,.$

Denn offenbar wird ${}f$ von ${}p_{i}^{r_{i}}$ geteilt, aber nicht von ${}p_{i}^{r_{i}+1}$, da nach kürzen mit ${}p_{i}^{r_{i}}$ folgen würde, dass ${}p_{i}$ einen der übrigen Faktoren ${}p_{2},\ldots ,p_{k}$ teilt. Insbesondere ist also der Exponent wohldefiniert.

Lemma

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und  ${}p\in R$  ein Primelement.

Dann besitzt der Exponent die Eigenschaft

${}{\nu _{p}(fg)}={\nu _{p}(f)}+{\nu _{p}(g)}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Der Exponent übersetzt also die Multiplikation in die Addition.

Mit diesen Bezeichnungen kann man die Primfaktorzerlegung in einem faktoriellen Bereich als

${}f=u\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}\,$

mit einer Einheit ${}u$ schreiben, wobei das Produkt rechts endlich in dem Sinne ist, dass nur endlich viele Exponenten von ${}0$ verschieden sind, und wobei für zueinander assoziierte Primelemente jeweils ein Vertreter genommen wird (das Produkt erstreckt sich also beispielsweise über alle positiven Primzahlen oder über alle irreduziblen normierten Polynome). Die Teilbarkeit und einen größten gemeinsamen Teiler und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kann man aus den Exponenten ablesen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und  ${}a,b\in R$. 

Dann ist ${}a$ ein Teiler von ${}b$ genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement ${}p$ die Abschätzung

${}{\nu _{p}(a)}\leq {\nu _{p}(b)}\,$

gelten.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung  ${}b=ac$  folgt mit Fakt direkt

${}{\nu _{p}(b)}={\nu _{p}(ac)}={\nu _{p}(a)}+{\nu _{p}(c)}\geq {\nu _{p}(a)}\,.$

${}(2)\Rightarrow (1)$. Wir schreiben

${}a=u\prod _{p}p^{\nu _{p}(a)}\,$

und

${}b=v\prod _{p}p^{\nu _{p}(b)}\,$

mit Einheiten ${}u,v$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist  ${}t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\nu _{p}(b)}-{\nu _{p}(a)}}$  ein Ringelement, das mit ${}a$ multipliziert gerade ${}b$ ergibt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$  Elemente mit Primfaktorzerlegungen

${}a_{i}=u_{i}\prod _{p}p^{\operatorname {exp} _{p}^{}\left(a_{i}\right)}\,.$

Dann ist

${}\operatorname {kgV} _{}^{}\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\prod _{p}p^{\operatorname {max} _{}^{}\left({\nu _{p}(a_{1})},\ldots ,{\nu _{p}(a_{n})}\right)}\,$

und

${}\operatorname {ggT} _{}^{}\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\prod _{p}p^{\operatorname {min} _{}^{}\left({\nu _{p}(a_{1})},\ldots ,{\nu _{p}(a_{n})}\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Insbesondere kann man den größten gemeinsamen Teiler primelementweise bestimmen, indem man schaut, mit welcher Potenz ${}p$ in ${}a_{1},a_{2}$ etc. aufgeht.

In einem faktoriellen Bereich muss ein größter gemeinsamer Teiler nicht als Linearkombination der Elemente darstellbar sein. Beispielsweise ist ${}K[X,Y]$ faktoriell, aber kein Hauptidealbereich, die beiden Variablen ${}X$ und ${}Y$ sind prim und teilerfremd, erzeugen aber nicht das Einheitsideal.