Familie komplexer Zahlen/Summierbarkeit/Textabschnitt

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Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dafür ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Die Familie sei als  , , gegeben. Für jede endliche Teilmenge kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen Bezug nehmen.


Definition  

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Teilmengen mit die Beziehung

gilt. Dabei ist . Im summierbaren Fall heißt die Summe der Familie.


Definition  

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem eine endliche Teilmenge derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge mit die Beziehung

gilt. Dabei ist .



Lemma  

Sei eine Indexmenge und , , eine Familie von komplexen Zahlen.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis  

Sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe , und sei vorgegeben. Zu gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für alle endlichen Mengen mit die Abschätzung gilt. Für jede zu disjunkte endliche Teilmenge gilt dann

so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Sei nun  , , eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes gibt es eine endliche Teilmenge derart, dass für jede endliche Teilmenge mit die Abschätzung gilt. Wir können annehmen, dass für alle gilt. Wir setzen

Für gilt

da die Menge disjunkt zu ist. Daher ist eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von konvergent gegen ein .
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe . Sei dazu ein vorgegeben. Es gibt mit . Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben . Für jedes endliche schreiben wir  mit . Damit gelten die Abschätzungen



Korollar

Es sei  , , eine summierbare Familie komplexer Zahlen und eine Teilmenge.

Dann ist auch  , , summierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe.