Familie komplexer Zahlen/Summierbarkeit/Textabschnitt

Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe absolut konvergent ist, siehe Aufgabe und Aufgabe. Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe ${}\sum _{p{\text{ Primzahl}}}{\frac {1}{p}}$ aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte ${}a_{i}b_{j}$ , ${}(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$ , wobei eben ${}\mathbb {N} ^{2}$ die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von Cauchy-Produkt werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. Die Familie sei als ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , gegeben. Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen

{}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}\,.

Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen ${}a_{E}$ Bezug nehmen.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

{}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,

gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$ . Im summierbaren Fall heißt ${}s$ die Summe der Familie.

Definition

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen. Diese Familie heißt eine Cauchy-Familie, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart gibt, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{0}\cap D=\emptyset$ die Beziehung

{}\vert {a_{D}}\vert \leq \epsilon \,

gilt. Dabei ist ${}a_{D}=\sum _{i\in D}a_{i}$ .

Lemma

Es sei ${}I$ eine Indexmenge und ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von komplexen Zahlen.

Dann ist die Familie genau dann summierbar, wenn sie eine Cauchy-Familie ist.

Beweis

Es sei zunächst die Familie summierbar mit der Summe ${}s$ , und sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Zu ${}\epsilon /2$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Mengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Abschätzung ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2$ gilt. Für jede zu ${}E_{0}$ disjunkte endliche Teilmenge ${}D$ gilt dann

{}{\begin{aligned}\vert {a_{D}}\vert &=\vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s-a_{E_{0}}+s}\vert \\&\leq \vert {a_{D}+a_{E_{0}}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&=\vert {a_{E_{0}\cup D}-s}\vert +\vert {a_{E_{0}}-s}\vert \\&\leq \epsilon /2+\epsilon /2\\&=\epsilon ,\end{aligned}}

so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist.
Es sei nun ${}a_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Cauchy-Familie. Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{n}\subseteq I$ derart, dass für jede endliche Teilmenge ${}D\subseteq I$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$ die Abschätzung ${}\vert {a_{D}}\vert \leq 1/n$ gilt. Wir können annehmen, dass ${}E_{n}\subseteq E_{n+1}$ für alle ${}n$ gilt. Wir setzen

{}x_{n}:=a_{E_{n}}=\sum _{i\in E_{n}}a_{i}\,.

Für ${}k\geq m\geq n$ gilt

{}\vert {x_{k}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{i\in E_{k}}a_{i}-\sum _{i\in E_{m}}a_{i}}\vert =\vert {a_{E_{k}\setminus E_{m}}}\vert \leq 1/m\leq 1/n\,,

da die Menge ${}E_{k}\setminus E_{m}$ disjunkt zu ${}E_{m}$ ist. Daher ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge und somit wegen der Vollständigkeit von ${}{\mathbb {C} }$ konvergent gegen ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ .
Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe ${}s$ . Es sei dazu ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Es gibt ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1/n\leq \epsilon /2$ . Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben ${}\vert {x_{n}-s}\vert \leq \epsilon /2$ . Für jedes endliche ${}E\supseteq E_{n}$ schreiben wir ${}E=E_{n}\cup D$ mit ${}E_{n}\cap D=\emptyset$ . Damit gelten die Abschätzungen