Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe/Lösung

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a) Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

Diese Matrix besitzt maximalen Rang, wenn die erste Zeile kein Vielfaches der zweiten Zeile ist. Die Bedingung lautet also

D.h. die singulären Punkte der Abbildung sind die Punkte der von erzeugten Geraden. Der Punkt gehört nicht zu dieser Geraden, da keine Lösung besitzt.

b) Der Tangentialraum an in ist der Kern des totalen Differentials, also der Kern von

Zur Bestimmung des Kerns muss man also das lineare Gleichungssystem

lösen. Durch Subtraktion der beiden Zeilen folgt und daher ist der Tangentialraum gleich der Geraden

c) Der Punkt wird unter der Abbildung auf abgebildet. Die Faser darüber wird durch die beiden Gleichungen

beschrieben. Wir lösen die lineare Gleichung nach auf und setzen das Ergebnis

in die quadratische Gleichung ein. Das ergibt

bzw.

Wir lösen dies nach auf und erhalten zunächst

und durch quadratisches Ergänzen

Daraus ergibt sich

Dabei ist die Wurzel für und damit insbesondere für definiert. Da für ja sein soll, muss man das negative Vorzeichen nehmen. Somit liefert die Abbildung

eine Bijektion dieses offenen Intervalls mit der offenen Teilmenge der Faser durch , die durch gegeben ist. Es ist ein Diffeomorphismus, da diese Abbildung differenzierbar ist und ihre Ableitung wegen der zweiten Komponenten nirgendwo verschwindet.