Fehlerfunktion

Einleitung

Diese Lerneinheit behandelt die Gaußsche Fehlerfunktion, zur Fehlerfunktion in der Approximationstheorie, welche eine orientierten Fehler als Differenz $f-g$ zwischen einer (oft unbekannten) Funktion $f:\mathbb {D} \to \mathbb {W}$ und ihrer Approximation $g:\mathbb {D} \to \mathbb {W}$ beschreibt.

Datenpunkte für unbekannte Funktion

In der Praxis besteht das "Wissen über die unbekannten Funktion" $f$ in der Regel aus Datenpaaren $(x_{i},y_{i})\in \mathbb {D} \times \mathbb {W}$ mit $i\in \mathbb {N}$ . Dabei versucht man in der Approximationstheorie bzw. bei der Verwendung einer Verlustfunktion (Statistik) den Fehler zwischen $g(x_{i})$ und $y_{i}$ .

Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion

Die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion ist eine wesentliche Eigenschaft, um Methoden aus der numerischen Mathematik verwenden zu können, die die Differenzierbarkeit der Fehlerfunktion benötigen.

Graph der Fehlerfunktion

Definition als Integral

Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet man in der Theorie der speziellen Funktionen die durch das Integral

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

definierte Funktion.^[1]

Bezeichnungen

Die Bezeichnung $\operatorname {erf} (x)$ kommt von error function.

Aufgabe für Studierende - Differenzierbarkeit

Erläutern Sie, warum die Fehlerfunktion differenzierbar ist!

Bemerkung - Wert im Nullpunkt

Durch die obige Definition ist der Wert der Fehlerfunktion im Nullpunkt eindeutig festgelegt, denn es gilt:

\operatorname {erf} (0)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{0}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=0

Bemerkung - Reihendarstellung des Integranden

Der Integrand $e^{-t^{2}}$ hat über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion die folgenden Reihendarstellung:

e^{-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot t^{2n}

Fehlerfunktion als Stammfunktion

Mit der obigen Definition als Integral ist die Fehlerfunktion $er\!f$ eine Stammfunktion von ${\tfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot e^{-t^{2}}$ . Durch $\operatorname {erf} (0)=0$ ist auch die Konstante als $0$ der Taylorreihe der Stammfunktion eindeutig festgelegt. Daher hat die Taylorreihe von $erf$ folgende Darstellung:

\operatorname {erf} (z)={\tfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot t^{2n+1}

Für ein reelles Argument $x$ ist $\operatorname {erf}$ eine reellwertige Funktion, da die Koeffizienten der Taylorreihe alle reellwertig sind.

Sigmoide Funktion

Die Fehlerfunktion ist eine Sigmoidfunktion, findet Anwendung in der Statistik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und hängt eng mit dem Fehlerintegral zusammen.

Entwicklung als Taylor-Reihe

Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung:

e^{-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot t^{2n}

Diese ergibt sich direkt durch Einsetzen des Terms $-t^{2}$ in die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Mit komplexem Argument $t\in \mathbb {C}$ ist der Integrand eine ganze Funktion.

Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen

Auf Kreisschreiben ${\overline {D_{r}(0)}}\subset \mathbb {C}$ konvergieren die Taylorsummen $\textstyle f_{_{N}}(t)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot t^{2n}$ gleichmäßig gegen den Integranden $e^{-t^{2}}$ der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf ${\overline {D_{r}(0)}}$ durch summandenweise Integration bilden.

Anwendung des Identitätssatzes

Mit dem Identitätssatz kann man die Stammfunktion des Integranden als ganze Funktion auf $\mathbb {C}$ erweitern. Dies liefert eine Stammfunktion von $e^{-t^{2}}$ :

F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot x^{2n+1}

Mit $F(0)=0$ kann man diese Potenzreihendarstellung für $\operatorname {erf} (x)$ auch für $x\in \mathbb {R}$ verwenden.

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot x^{2n+1}

Komplementäre Fehlerfunktion

Die komplementäre (bzw. konjugierte) Fehlerfunktion $\operatorname {erfc} (x)$ ist gegeben durch

{\begin{array}{rcl}\operatorname {erfc} (x)&=&1-\operatorname {erf} (x)\\&=&\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{array}}

Punktsymmetrie des Graphen

Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit $F(-x)=-F(x)$ . Daher erfüllt sowohl $\operatorname {erf}$ als auch $\operatorname {erfc}$ die folgende Eigenschaften:

\operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)\quad \operatorname {erfc} (-x)=-\operatorname {erfc} (x)

Verallgemeinerte Fehlerfunktion

Die verallgemeinerte Fehlerfunktion $\operatorname {erf} (a,b)$ wird durch das Integral

\operatorname {erf} (a,b)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot (F(b)-F(a))

definiert.

Eigenschaften

Es gilt:

\operatorname {erf} (a,b)=\operatorname {erf} (b)-\operatorname {erf} (a)

Die Fehlerfunktion ist ungerade:

\operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)

Das uneigentliche Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ ist

{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=2

Außerdem gilt:

\operatorname {erf} (x)^{2}={\frac {4}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {1-\exp[-x^{2}(y^{2}+1)]}{y^{2}+1}}\mathrm {d} y

Verwendung

Verwandtschaft mit der Normalverteilung

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Sie hat jedoch eine Zielmenge von $(-1,1)$ , während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich $[0,1]$ annehmen muss.

Darstellung der Standardnormalverteilung mit Fehlerfunktion

Es gilt für die Standardnormalverteilung

{\begin{array}{rcl}\Phi (x)&=&{\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\cdot (2n+1)}}\cdot \left({\frac {-1}{2}}\right)^{n}\cdot x^{2n+1}\end{array}}

Verteilungsfunktion - Normalverteilung

Für die Verteilungsfunktion $F$ einer beliebigen Normalverteilung mit Standardabweichung $\sigma$ und Erwartungswert $\mu$

F(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right).

Messreihe - Messfehler

Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer Messreihe vom gemeinsamen Mittelwert durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung $\sigma$ und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist $\textstyle \operatorname {erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$ die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler einer einzelnen Messung zwischen $-a$ und $+a$ liegt (für positives $a$ ).

Pseudozufallszahlen

Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der Inversionsmethode normalverteilte Pseudozufallszahlen zu generieren.^[2]

Wärmeleitungsgleichung

Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vor, wenn Randwertbedingungen durch die Heaviside-Funktion vorgegeben sind.

Numerische Berechnung

Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Berechnung für kleine Werte - Taylorreihe

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\dotsb \right),

Berechnung für große Werte - Kettenbruch

Für große reelle Werte mit der Kettenbruchentwicklung

\operatorname {erf} (x)=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {e^{-x^{2}}}{x+{\frac {1}{2x+{\frac {2}{x+{\frac {3}{2x+{\frac {4}{x+\dotsb }}}}}}}}}}.

Approximation für komplexen Wertebereich

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von $1{,}2\cdot 10^{-7}$ :^[3]

\operatorname {erf} (x)\approx {\begin{cases}1-\tau (x){\text{,}}&{\text{falls }}x\geq 0{\text{,}}\\\tau (-x)-1&{\text{sonst,}}\end{cases}}

mit

{\begin{array}{rcl}\tau (x)&=&t\cdot \exp {\bigl (}-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\&&\qquad -0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^{7}\\&&\qquad -0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}{\bigr )}\end{array}}

und

t={\frac {1}{1+0{,}5\,|x|}}.

Konvergenzgeschwindigkeit - Bürmann-Theorem

Eine für alle reellen Werte von $x$ schnell konvergierende Entwicklung^[4] erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:^[5]^[6]

{\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\ \cdots \right)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-k\,x^{2}}\right)\end{aligned}}

Fehlerabschätzung für die Näherung

Durch geeignete Wahl von $c_{1}$ und $c_{2}$ ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei $\textstyle x=\pm 1{,}3796$ kleiner als $\textstyle 3{,}6127\cdot 10^{-3}$ ist:

\operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}\,e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}\,e^{-2\,x^{2}}\right)

Komplexe Fehlerfunktion

Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente $z$ ausgeweitet werden:

\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-\tau ^{2}}\,\mathrm {d} \tau

In diesem Fall ist $\operatorname {erf}$ eine komplexwertige Funktion. Unter komplexer Konjugation gilt

\operatorname {erf} (z^{*})=\operatorname {erf} (z)^{*}

.

Imaginäre Fehlerfunktion

Die imaginäre Fehlerfunktion $\operatorname {erfi} (x)$ ist gegeben durch

\operatorname {erfi} (x)={\frac {\operatorname {erf} (\mathrm {i} x)}{\mathrm {i} }}

mit der Reihenentwicklung

\operatorname {erfi} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}+\dotsb \right)

.

Zusammenhang - Faddeeva-Funktion

Zur Berechnung können $\operatorname {erf,erfi,erfc}$ und weitere verwandte Funktionen auch durch die Faddeeva-Funktion $w(z)$ ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek libcerf zur Verfügung.^[7]

Literatur

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972, Chapter 7.
William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: Numerical Recipes in C. 2. Auflage. Cambridge 1992, S. 220 ff. (PDF; 76 kB)
Bronstein, I.N. und Semendjajew, K.A., Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, S. 782

Einzelnachweise

↑ Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, S. 782
↑ Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam: An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function. (Memento vom 5. Mai 2007 im Internet Archive)
↑ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.
↑ H. M. Schöpf, P. H. Supancic: On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion. In: The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16-11.
↑ Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.
↑ E. W. Weisstein: Bürmann’s Theorem. mathworld
↑ Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: libcerf.

Siehe auch

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[1] Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, S. 782

[2] Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam: An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function. (Memento vom 5. Mai 2007 im Internet Archive)

[3] Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.

[4] H. M. Schöpf, P. H. Supancic: On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion. In: The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16-11.

[5] Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.

[6] E. W. Weisstein: Bürmann’s Theorem. mathworld

[7] Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: libcerf.

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