Fläche im R^3/Linearform/3/Aufgabe/Lösung

Da ${}U$ zweidimensional ist, ist eine nichttriviale Linearform

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto ax+by+cz,$

mit

${}7a-2b+5c=0\,$

und

${}3a+6b+4c=0\,$

gesucht. Wir addieren das Dreifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung und erhalten

${}24a+19c=0\,.$

Mit ${}c=1$ ergibt sich

${}a=-{\frac {19}{24}}\,$

und damit

${}b={\frac {7}{2}}a+{\frac {5}{2}}c=-{\frac {7}{2}}\cdot {\frac {19}{24}}+{\frac {5}{2}}={\frac {-133+120}{48}}=-{\frac {13}{48}}\,.$

Die Linearform

$-{\frac {19}{24}}x-{\frac {13}{48}}y+z$

besitzt also die Eigenschaft, dass ihr Kern gleich ${}U$ ist.

Zur gelösten Aufgabe