Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

$K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},$

die eine Potenzreihe ${}F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$  mit

${}FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,$

angeben. Für ${}b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung  ${}a_{0}b_{0}=1$,  die wegen  ${}a_{0}\neq 0$  eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich  ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$.  Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten ${}b_{j}$ für  ${}j<n$  schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten ${}c_{k}$, ${}1\leq k<n$, der Produktreihe ${}FG$ gleich ${}0$ sind. Für den ${}n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

${}0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.$

Dabei sind bis auf ${}b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen  ${}a_{0}\neq 0$ 

ergibt sich eine eindeutige Lösung für ${}b_{n}$.

Zur gelösten Aufgabe